派遣会社に登録をした。さていつ依頼がくるか?
1年間で依頼の多い時期、少ない時期があります。

紹介と派遣で異なります。また、専任・常勤・非常勤でそれぞれ異なります。

簡単に書けばこうです。
「紹介の話は早い(年内中心)」
「専任>常勤>非常勤の順に早い」

学校側の視点に立てばわかりやすいです。もし自分が学校の人事担当だったとして、
こう考えるでしょう。

■長期的に見ればコストの安い「紹介」で、まずは派遣会社から提案を受けたい
■まずは大きな欠員部分から人材を補充して、残りの枠を非常勤でまかないたい
■非常勤は期間も役割も限定的。とすれば「派遣」で充当したほうがコストも安い

学校が考えることは派遣会社の案件数や案件の種類と一致します。
当然、皆さんに提供される仕事とも一致します。

上記の3つの考え方から、年間の依頼の増減を書きますと、

①5月から9月にかけては「紹介」且つ「専任、常勤」の話が中心。
→依頼は少ない。ハードルは高い。
②8月から12月にかけては「紹介」且つ「常勤」の話が中心。
→依頼は少ない。ハードルは少し低くなる。
③11月から1月にかけては「紹介・派遣」且つ「常勤、非常勤」の話が中心。
→依頼は多い。派遣で常勤のみハードルは高い。
④1月から4月にかけては「派遣」且つ「非常勤」の話が中心。
→依頼は最も多い。ハードルは高くない。

こんな感じになります。

それぞれ、少し解説。
①5月から9月にかけては「紹介」且つ「専任、常勤」の話が中心
当たり前の話ですが、専任イコール一般企業の正社員と同じ。一般企業でも新卒採用の多くは9月に内定が出るものでしょう。学校も同じで、新年度が始まるギリギリまで専任募集ということはありえない。また、当然派遣会社の力を借りず雇えるに越したことはないので、早い段階での「専任や常勤の話」は、依頼の数自体少ないし、且つ採用になる確率も低い(とすれば9月までは派遣会社に頼らず自分でアクションしたほうが話し早い、とも言える。私のように年をとるとそうもいかないが…)。
この時期は教採や私学適性の勉強、もしくは塾で経験を積むのが正しい時間の過ごし方と言えます。

②8月から12月にかけては「紹介」且つ「常勤」の話が中心
8月を越えると専任の話は少なくなる。学校自体募集を締め切ることもそうだが、私学適性がある。私学適性でリストから一本釣りできるチャンスがあるわけで、いい加減この時期に派遣会社へ「専任」の依頼を流す学校は少ない。私学適性の利用という意味では「常勤」も同じことが言えるが、常勤の場合専任よりも応募者にとっての魅力が薄まるので、知名度の低い学校や理科など募集が難しい教科、大量に人が必要な場合などは派遣会社を利用する学校がある。私学適性からの登用を諦めて、早々に派遣会社へ常勤依頼を流すところはわりと固定化されていて、メールや電話で紹介されるところはよく聞く名前のところが多い。
なお、この時期は①の段階もそうだが②の段階もそう、直接応募の人材と派遣会社の人材と一緒に面接に呼び寄せるパターンが多く、この時期に採用をもぎとってくれる会社こそ本当の実力ある会社だと思う。私はアイティーチャー推しだが、信頼できる会社、というかコーディネーターに身を任せるといい。

③11月から1月にかけては「紹介・派遣」且つ「常勤、非常勤」の話が中心
11月頃からいよいよ派遣の門戸が開く。①、②の段階で専任、常勤をキープして、あとは非常勤で穴埋めにかかる学校からの依頼が多い。紹介の依頼は少なくなる。正直、この段階で「直接雇用したいまでの人材がいる」と期待されてない感がある。常勤、非常勤からの専任、常勤登用は狙えるが(なので派遣会社に聞いてみたほうがいい。「常勤も狙える話ですかそれは?」と)、11月を越えると、学校サイドも場しのぎ的採用、こちらも生活を保持するための働き口探しと割り切って活動したほうがいいかもしれない。学校としてはこの時期非常勤でもかまわないと言ってくれる人材は貴重。割り切ればわりと早くに次年度の仕事を安定させることができる。

④1月から4月にかけては「派遣」且つ「非常勤」の話が中心
いよいよ派遣だらけ、非常勤だらけの求人になるのが年明け。求人サイトや学校HP内での直接応募、直接採用が年内12月までがピークとして、1月から3月までは派遣依頼のピーク。派遣会社に登録をして、実感としてはこの時期の求人が全体の半分以上を占めているんじゃないかと思う。この時期まで次年度の仕事が決まっていないとして、諦めなくてもいい。学校サイドも受験が終わり生徒数が確定、次年度必要な教員数と時間割が固まりだして、明確に「この教科、この学年が足りない」とわかる。それに合致すれば高い採用率が見込める。学校として、今さらHPに掲載したり求人媒体で応募を募ったり、そんな不確実なものに期待をして待つことはない。いわゆる「非公開求人」が派遣会社内になだれ込み、この時期に体の空いてるアナタを今か今かと待っている。
3月とあっても「公立で臨任誘われちゃいました」で内定辞退、辞職する教員が多いことも派遣の非常勤依頼が多いことの要因。

以上、なんだか読みづらくなってしまいましたが、非常勤生活このかた25年。派遣会社からの求人メールや電話内容に基づく実感なので、そんなに外れていないと思います。
登録したのに依頼がないなーという先生。もちろん教科や経歴的「見栄え」も大切なのですが、時期的要因で依頼が少ないだけかもしれないので、まぁくさらず一緒に頑張りましょう。